浮点算术运算的不可结合性

结合律（associative law）是一个数学定律，是指计算结果不会因为计算顺序的不同而发生改变，例如：

遵循IEEE 754标准的具体实现中，绝大多数浮点数都只能近似的表示，其精确程度取决于精度。由于精度和值域范围的限制，浮点表达式的重排经常会受到限制。由于舍入误差（roundoff error），即使在没有溢出（overflow）和下溢（underflow）的情况下，具体实现中浮点表达式通常也不能使用加法或者乘法的数学结合律（associative law）。以下是一个范例：

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/*浮点运算的不可结合性。*/

#include <float.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    printf("FLT_EVAL_METHOD = %d\n", FLT_EVAL_METHOD);

    printf("%f\n", (2.0f + powf(2.0f, 25.0f)) - powf(2.0f, 25.0f));	//A
    printf("%f\n", 2.0f + (powf(2.0f, 25.0f) - powf(2.0f, 25.0f)));

    return 0;
}

将输出（注：使用ideone编译。）：

宏FLT_EVAL_METHOD会影响float类型的浮点操作和浮点常量的评估，其值由具体实现定义。当宏FLT_EVAL_METHOD值为0时，将根据float类型的范围和精度评估所有float类型的浮点操作和浮点常量；当宏FLT_EVAL_METHOD值为1时，将根据double类型的范围和精度评估所有float类型的浮点操作和浮点常量；当宏FLT_EVAL_METHOD值为2时，将根据long double类型的范围和精度评估所有float类型的浮点操作和浮点常量。

上面的例子中，A处的输出仅在宏FLT_EVAL_METHOD值为0时，输出0.000000；如果宏FLT_EVAL_METHOD值为1或者2时，将输出2.000000。

powf(2.0f, 25.0f)返回float类型的2.025.0。2.0+2.025.0的值为1.0000 0000 0000 0000 0000 0001×225。

C语言中的float类型数据在支持IEEE 754标准的计算机上以32位二进制格式表示。

2.025.0的32位二进制格式表示：

1.0000 0000 0000 0000 0000 0001×225的32位二进制格式表示：

两者表示形式相同；当数据类型是float类型时，1.0000 0000 0000 0000 0000 0001×225小数点后的1无法表示。

综上所述，通常情况下可认为浮点算术运算不具有可结合性。

1、ISO/IEC 9899:2018

2、《深入理解计算机系统》原书第3版 作者：Randal E. Bryant David R. O'Hallaron 出版社：机械工业出版社

3、IEEE Std 754-2019